Contoh Transformasi Laplace

Urusannya sangat sederhana, yaitu mencari transformasi Laplace dari fungsi sin (5t + (π/3)). Coba mencari di tabel transformasi Laplace, yang ada adalah L [sin (ωt)] dan L [con (ωt)].

Untuk mencari L [sin (5t + π/3)] ternyata perlu cari rumus lain, yaitu penjumlahan dan pengurangan untuk sinus dan juga cosinus. Dengan kata kunci "sin(a+b)", laman-nya ketemu di http://www.ies.co.jp/math/java/trig/kahote/kahote.html. Dalam laman ini dijelaskan bahwa :
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B
cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B
cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

Sehingga :
sin (5t + π/3) = sin 5t cos π/3 + cos 5t sin π/3,

Karena π/3 = 60⁰ atau π = 180⁰ maka :
sin (5t + π/3) = sin 5t cos 60 + cos 5t sin 60 = 0,5 sin 5t + 0,866 cos 5t

Sehingga transformasi Laplace-nya menjadi :
L [sin (5t + π/3)] = L [0,5 sin 5t] + L [0,866 cos 5t] = 0,5 [5/(s² + 25)] + 0,866 [s/(s² + 25)] = (2,5 + 0,866s)/(s² + 25).

Kesimpulan :
Untuk menyelesaikan transformasi Laplace fungsi di atas perlu tahu rumus penjumlahan sin dan cos, perlu tahu harga sin dan cos untuk sudut radian, dan punya tabel transformasi Laplace.

Contoh fungsi lain yang bisa dicari menggunakan tabel transformasi Laplace adalah :
1. L [0,03(1 - cos 2t)] = 0,12/(s(s²+4))
2. L [e ^-0,4t cos 12t] = (s + 0,4)/((s + 0,4)² + 144)
3. L [t^m] = m!/s^m+1
4. L [t^m e^at] = m!/(s-a)^m+1

Ke-4 persamaan di atas dapat diselesaikan menggunakan tabel transformasi Laplace, khususnya yang ada di buku "Automatic Control System" nya Prof. Kuo (Edisi 9) dan juga buku "Modern Control Engineering" nya Prof. Ogata (Edisi 4).